Towards obtaining a 3-Decomposition from a perfect Matching

A decomposition of a graph is a set of subgraphs whose edges partition those of $G$. The 3-decomposition conjecture posed by Hoffmann-Ostenhof in 2011 states that every connected cubic graph can be decomposed into a spanning tree, a 2-regular subgraph, and a matching. It has been settled for special classes of graphs, one of the first results being for Hamiltonian graphs. In the past two years several new results have been obtained, adding the classes of plane, claw-free, and 3-connected tree-width 3 graphs to the list. In this paper, we regard a natural extension of Hamiltonian graphs: removing a Hamiltonian cycle from a cubic graph leaves a perfect matching. Conversely, removing a perfect matching $M$ from a cubic graph $G$ leaves a disjoint union of cycles. Contracting these cycles yields a new graph $G_M$. The graph $G$ is star-like if $G_M$ is a star for some perfect matching $M$, making Hamiltonian graphs star-like. We extend the technique used to prove that Hamiltonian graphs satisfy the 3-decomposition conjecture to show that 3-connected star-like graphs satisfy it as well.Comment: 21 pages, 7 figure

On Algorithmic Certification of Graph Structures

Many open problems in graph theory aim to verify that a specific class of graphs has a certain property. One example, which we study extensively in this thesis, is the 3-decomposition conjecture. It states that every cubic graph can be decomposed into a spanning tree, cycles, and a matching. Our most noteworthy contributions to this conjecture are a proof that graphs which are star-like satisfy the conjecture and that several small graphs, which we call forbidden subgraphs, cannot be part of minimal counterexamples. These star-like graphs are a natural generalisation of Hamiltonian graphs in this context and encompass an infinite family of graphs for which the conjecture was not known previously. Moreover, we use the forbidden subgraphs we determined to deduce that 3-connected cubic graphs of path-width at most 4 satisfy the 3-decomposition conjecture: we do this by showing that the path-width restriction causes one of these forbidden subgraphs to appear. In the second part of this thesis, we delve deeper into two steps of the proof that 3-connected cubic graphs of path-width 4 satisfy the conjecture. These steps involve a significant amount of case distinctions and, as such, are impractical to extend to larger path-width values. We show how to formalise the techniques used in such a way that they can be implemented and solved algorithmically. As a result, only the work that is "interesting" to do remains and the many "straightforward" parts can now be done by a computer. While one step is specific to the 3-decomposition conjecture, we derive a general algorithm for the other. This algorithm takes a class of graphs $\mathcal G$ as an input, together with a set of graphs $\mathcal U$, and a path-width bound $k$. It then attempts to answer the following question: does any graph in $\mathcal G$ that has path-width at most $k$ contain a subgraph in $\mathcal U$? We show that this problem is undecidable in general, so our algorithm does not always terminate, but we also provide a general criterion that guarantees termination. In the final part of this thesis we investigate two connectivity problems on directed graphs. We prove that verifying the existence of an $st$-path in a local certification setting, cannot be achieved with a constant number of bits. More precisely, we show that a proof labelling scheme needs $\Theta(\log \Delta)$ many bits, where $\Delta$ denotes the maximum degree. Furthermore, we investigate the complexity of the separating by forbidden pairs problem, which asks for the smallest number of arc pairs that are needed such that any $st$-path completely contains at least one such pair. We show that the corresponding decision problem in $\mathsf{\Sigma_2P}$-complete.Viele offene Probleme in der Graphentheorie beschäftigen sich mit dem Nachweis einer speziellen Eigenschaft für eine bestimmte Klasse von Graphen. Ein Beispiel, welches wir in dieser Arbeit detailliert untersuchen, ist die 3-Zerlegungsvermutung. Diese besagt, dass jeder kubische Graph in einen Spannbaum, Kreise und ein Matching zerlegt werden kann. Unsere wichtigsten Beiträge zu dieser Vermutung sind ein Beweis, dass sternförmige Graphen die Vermutung erfüllen und dass mehrere kleine Graphen, die wir verbotene Subgraphen nennen, nicht Teil minimaler Gegenbeispiele sind. Dabei sind sternförmige Graphen eine natürliche Verallgemeinerung von Graphen die einem Hamiltonkeis besitzen und es gibt eine unendliche Familie von sternförmigen Graphen, für die die Vermutung bisher nicht geklärt war. Darüber hinaus verwenden wir die verbotenen Subgraphen, um zu beweisen, dass 3-zusammenhängende kubische Graphen mit Pfadweite höchstens 4 die 3-Zerlegungsvermutung erfüllen: Dazu zeigen wir, dass die Beschränkung der Pfadweite dazu führt, dass einer der verbotenen Subgraphen auftauchen muss. Im zweiten Teil dieser Arbeit schauen wir uns zwei Schritte des Beweises, dass 3-zusammenhängende kubische Graphen mit Pfadweite höchstens 4 die Vermutung erfüllen, genauer an. Diese Schritte sind für den Großteil der Fallunterscheidungen verantwortlich und führen dazu, dass der Beweis sich schlecht auf größere Werte für die Pfadweite fortsetzt. Deshalb formalisieren wir die verwendeten Techniken so, dass man sie implementieren und diese Schritte algorithmisch lösen kann. Dies führt dazu, dass man sich bei den Beweisen auf die "interessanten" Teile fokussieren kann und die vielen "geradlinigen" Schritte überprüft ein Computer. Ersterer der beiden Schritte ist spezifisch für die 3-Zerlegungsvermutung. Den zweiten behandeln wir jedoch allgemeiner und entwickeln dafür einen Algorithmus, der als Eingabe eine Klasse von Graphen $\mathcal G$, eine Menge von Graphen $\mathcal U$ und eine Pfadweitebeschränkung $k$ nimmt. Dieser Algorithmus versucht nun, folgende Frage zu beantworten: Enthält jeder Graph in $\mathcal G$ der Pfadweite höchstens $k$ einen Subgraph in $\mathcal U$? Wir zeigen, dass dieses Problem im Allgemeinen unentscheidbar ist, womit der Algorithmus im Allgemeinen nicht terminieren muss, aber wir beweisen auch ein Terminierungskriterium. Im letzten Teil behandeln wir zwei Zusammenhangsprobleme auf gerichteten Graphen. Wir zeigen, dass eine konstante Anzahl Bits nicht ausreicht, um lokal zu überprüfen, ob ein $st$-Pfad in einem Graph existiert. Genauer gesagt, beweisen wir, dass ein Proof Labelling Scheme $\Theta(\log \Delta)$ Bits für diese Aufgabe benötigt, wobei $\Delta$ der Maximalgrad ist. Weiterhin analysieren wir die Komplexität des Separating by Forbidden Pairs Problems, das die geringste Anzahl an Kantenpaaren sucht, sodass jeder $st$-Pfad mindestens ein Paar komplett enthält. Wir zeigen, dass dieses Problem $\mathsf{\Sigma_2P}$-vollständig ist